Échecs et Stratégie: Peut-on expliquer les échecs par les mathématiques et l’informatique ?

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mercredi 22 décembre 2021

Peut-on expliquer les échecs par les mathématiques et l’informatique ?

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Un peu de théorie aujourd'hui avec cet article de The Conversation qui traite de la question du choix du meilleur coup aux échecs et du rapport du jeu de stratégie aux mathématiques et à l'informatique.



L'humain a-t-il encore la main sur les échecs ? - Photo © Michał Parzuchowski/Unsplash

L'humain a-t-il encore la main sur les échecs ? - Photo © Michał Parzuchowski/Unsplash

Les mathématiques classifient les jeux en catégories bien distinctes les unes des autres. Les jeux de hasard pur (pile ou face, loterie) ne laissent place à aucune stratégie, le vainqueur étant tiré au sort dans la liste des participants (éventuellement par l’intermédiaire de l’extraction spectaculaire de boules numérotées placées dans une urne, après que les joueurs ont chacun choisi une liste de numéros… ce qui ne remet pas en cause l’équiprobabilité de victoire de chaque joueur, mais leur donne seulement l’illusion d’infléchir la main du destin).

Le jeu d’échecs ne ressort pas de cette catégorie, encore qu’on puisse considérer, dans une certaine mesure, qu’une partie entre deux joueurs venant tout juste de découvrir les règles du jeu et disposant de facultés intellectuelles semblables puisse s’apparenter à une succession de parties de pile ou face, chaque joueur, sans idée préconçue sur le jeu, choisissant au hasard la pièce qu’il déplace dans le respect des règles du jeu.

Il existe des jeux de hasard raisonné comme la plupart des jeux de cartes (poker, bridge et tarot par exemple) et des jeux de dés (le backgammon en tête, pour lequel la faculté à évaluer les risques et anticiper les coups à venir fait toute la différence). Dans ces jeux, la qualité des cartes ou des dés distribués aux joueurs a une incidence sur le déroulement des parties, mais la manière d’utiliser une même main entraîne des issues parfois diamétralement opposées. Un excellent joueur sait optimiser le gain que lui apporte une très bonne main et minimiser la perte engendrée par une main médiocre.

Au contraire, un joueur moyen n’utilisera pas toujours parfaitement une main forte et souvent de manière catastrophique une main médiocre. Sur le long terme, la loi des grands nombres (un résultat classique de « probabilités » en mathématiques) se vérifiant fatalement, le joueur expert (c’est-à-dire doté d’une science du jeu qui s’apparente à une mathématisation de celui-ci) remportera sensiblement plus de victoires que le joueur moyen et cela malgré les inévitables coups défavorables du sort.

Savoir choisir le meilleur coup aux échecs

Le jeu d’échecs appartient à la catégorie des jeux de stratégie pure à somme nulle (le total des gains et des pertes des joueurs est nul : ce que l’un gagne, l’autre le perd) et dans lesquels l’information est complète (chaque joueur est informé, à chaque instant, de l’état de la partie, chaque coup est le choix du joueur et en aucune manière le résultat d’un hasard extérieur à sa volonté). À l’extrême limite, faute de dégager un coup meilleur que tous les autres, le joueur choisit parmi plusieurs qui lui semblent équivalents et c’est le seul moment où on peut considérer que le hasard entre en jeu.

Il repose alors sur l’expérience du joueur et son style. Sur une même position des joueurs de même niveau pourront justifier leur choix avec logique sans pour autant qu’un coup soit nécessairement supérieur à un autre. Mais ne s’agit-il pas alors plutôt d’un défaut de connaissance du jeu ? Voilà ce qui distingue les joueurs d’échecs les uns des autres : savoir distinguer plus souvent, parmi les coups possibles, celui qui est meilleur que les autres ou du moins faire le tri entre ceux qui maintiennent l’équilibre vers la nulle (une partie où personne ne gagne) de ceux, plus complexes, qui déséquilibrent le jeu vers une position qui sera plus propice à amener un gain.

En « théorie des jeux », une branche récente des mathématiques, le théorème de Zermelo dit qu’aux échecs, de deux choses l’une : soit le joueur qui joue les pièces blanches a une stratégie gagnante, soit le joueur qui joue les pièces noires a une stratégie pour gagner ou mener à un match nul. Ernst Zermelo (mathématicien allemand, 1871-1953) a démontré que dans tout type de jeu du même genre que les échecs, l’un des deux joueurs a une stratégie gagnante ou alors, entre deux joueurs parfaits, le jeu se terminera toujours par une nulle. Ça ne nous avance pas beaucoup, mais c’est déjà cela.

La théorie des jeux a fait son entrée dans les mathématiques sérieuses au milieu du XXe siècle avec les travaux de John Nash (mathématicien américain, 1928-2015, dont le film Un homme d’exception romance l’histoire) et de John von Neumann (mathématicien hongrois puis américain, 1902-1957, qui travailla sur la bombe A).

Mais elle puise ses racines dans l’étude des probabilités qui a véritablement débuté au XVIIe siècle avec René Descartes, Pierre de Fermat et Blaise Pascal, entre autres, puis a connu un essor majeur à partir de la deuxième moitié du XIXe siècle, principalement avec l’école russe de mathématiques (Pafnouti Tchebychev, 1821-1894, Andreï Markov, 1856-1922, puis Andreï Kolmogorov, 1903-1987), ainsi que dans la « théorie des graphes » dont Leonhard Euler (1707-1783, mathématicien suisse) fut un pionnier.

Cette théorie des jeux sert également de cadre à des problèmes d’ordre économique (quelle stratégie concurrentielle adopter pour maximiser les profits ? Pour minimiser les pertes possibles ?). L’algorithme du minimax permet théoriquement, après évaluation de toutes les possibilités pour un avenir proche (quelques coups d’une partie), de choisir le coup qui minimise la perte maximale. La justesse de cet algorithme est assurée par le théorème du même nom que l’on doit à von Neumann.

L'intégralité de cet article est à retrouver sur le The Conversation sous la plume de Françoise Marmouyet.

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Le tacticomètre, outil de mesure de votre habileté à bien calculer

Résolvez 3 exercices d'échecs tirés de tournois internationaux pour progresser durablement en tactique. De difficulté progressive, mat en 2 coups en vert, mat en 3 coups en orange et mat en 4 coups en rouge, nous vous conseillons de vous concentrer pendant 5 minutes maximum sur chaque diagramme ci-dessous. Si vous ne trouvez pas une solution dans le temps maximum imparti, revenez sur cet exercice plus tard dans la journée. Enfin, comparer vos solutions avec celles qui sont données en fin d'article. Une manière efficace de progresser est de chercher par soi-même avant de découvrir la solution.

Les exercices et solutions du jour

Échec et mat en 2 coups

Les Blancs jouent et matent en 2 coups - Joseph Blackburne vs Smith, Simultanée, 1882
Les Blancs jouent et matent en 2 coups
Joseph Blackburne vs Smith, Simultanée, 1882

Les échecs aident à développer des compétences analytiques

A chaque partie, un joueur se retrouve face à des problèmes à résoudre et des défis à surmonter. Les échecs aident à anticiper, à ne pas se précipiter et à bien peser le pour et le contre de chaque décision. Comme dans la vie de tous les jours, où l'on essaie de prendre les meilleures décisions possibles pour obtenir des résultats positifs.

Échec et mat en 3 coups

Les Blancs jouent et matent en 3 coups - Uwe Dietzinger vs Heike Vogel, Allemagne, 1989
Les Blancs jouent et matent en 3 coups
Uwe Dietzinger vs Heike Vogel, Allemagne, 1989

Les échecs apprennent à gérer la pression

C'est lors d'une partie d'échecs intense, dans laquelle on donne tout, que l'on apprend à rester calme malgré la pression. Prendre la décision critique en temps limité pour assurer la victoire nécessite une concentration totale et un calme profond, qui permet à votre cerveau de fonctionner au maximum de ses capacités. Toute notre vie, nous sommes confrontés à des dates-butoirs, à des défis difficiles, au trac des entretiens... Comme dans une partie d'échecs, il faut savoir rester confiant et calme malgré la pression pour réussir au mieux.

Échec et mat en 4 coups

Les Blancs jouent et matent en 4 coups - Bogdan Lalic vs Pal Kiss, Cannes, 1990
Les Blancs jouent et matent en 4 coups
Bogdan Lalic vs Pal Kiss, Cannes, 1990

Les échecs favorisent la bonne santé du cerveau

Le jeu d'échecs stimule la croissance de dendrites, ces corps qui envoient des signaux aux cellules neuronales du cerveau. Avec plus de dendrites, la communication neurale dans le cerveau s'améliore et devient plus rapide. L'interaction et les activités avec d'autres personnes stimulent également la croissance de dendrites. Pratiquer régulièrement le jeu d'échecs en famille, avec des amis ou dans un club est ainsi une expérience idéale.

Les solutions des 3 exercices tactiques

Échec et mat en 2 coups : 1. Dd7+ Fxd7 2. Cxf7#

Échec et mat en 3 coups : 1. Txh7+ Rxh7 2. Dh2+ Fh6 3. Dxh6#

Échec et mat en 4 coups : 1. Fxg7+ Rxg7 2. Cf5+ Rf8 3. Dh6+ Rg8 4. Txe8# ou 4. Dg7#

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Xavier Tartacover (1887-1956) - Celui qui prend des risques peut perdre, celui qui n'en prend pas perd toujours.

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